有媒體近日報道說，有一道小學(xué)奧數(shù)題將一位大數(shù)學(xué)家難倒了。

　　被“難倒”的大數(shù)學(xué)家是俄羅斯的安德烈·奧昆科夫，主要研究表示論及其在代數(shù)幾何、概率論和數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的應(yīng)用。2006年，奧昆科夫因在“概率論、表示論和代數(shù)幾何的相互作用”方面取得杰出成果而獲得菲爾茨獎。看到題目，奧昆科夫先生仔細(xì)看了幾遍，最終有些不好意思地笑了：“呵呵，我能不能不做這道題？感覺我現(xiàn)在的思路比較混亂……”

　　題目

　　問題“很簡單”

　　這道題目是這樣的：

　　問：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……前500個數(shù)的和是多少？

　　解法一：這個數(shù)列里有1個1、2個2、2個168、3個3、4、5、……、165、166、167，所求的和=1+2×2＋2×168+3(3+167)÷2×165=42416。

　　解法二：把1、2、3；2、3、4；3、4、5……；165、166、167；166、167、168；167、168寫成三個數(shù)列： 1、2、 3……165、166、167，2、3、4……166、167、168，3、4、5……167、168，這樣，所求的數(shù)列的和就等于上述三個數(shù)列的和，也就是：(1+167)÷2×167+(2+168)÷2×167+(3+168)×166÷2=42416。(據(jù)網(wǎng)上公布答案，漏掉了數(shù)列中的省略號，與數(shù)列之間的逗號。)

　　真像奧昆科夫看到題目的最初反應(yīng)，“哦，很簡單”，與大數(shù)學(xué)家高斯小學(xué)一年級時快速算出的“求1到100所有自然數(shù)之和”屬一個類型，不過是3個等差數(shù)列疊加而已。學(xué)奧數(shù)的小學(xué)生解這道題一般都不會有困難，那么，獲得有數(shù)學(xué)諾貝爾獎之稱的菲爾茨獎的奧昆科夫先生怎么會在真的“很簡單”的題目前卡住了呢？

　　求證

　　職業(yè)病影響解題思路

　　筆者接受過高等的數(shù)學(xué)專業(yè)教育，在我看來，之所以奧昆科夫先生不能解出這道題，可能是數(shù)學(xué)家特有的職業(yè)病在作祟。

　　一般中國小學(xué)生的解題法是2個步驟：

　　1.看出這串?dāng)?shù)列的規(guī)律，并給出前500項的通項公式(或以小學(xué)生自己能理解的通項表達(dá))；

　　2.根據(jù)通項公式(此處是3個等差數(shù)列疊加)，應(yīng)用等差數(shù)列求和公式(或數(shù)理上一致的求和方法)，分別求出3列等差數(shù)列的和，并相加。

　　但是，作為數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，步驟應(yīng)當(dāng)是：

　　1.看出這串?dāng)?shù)列的規(guī)律，大致猜測前500項的通項公式或遞推公式；

　　2.證明該數(shù)列每一項都滿足所猜想的通項公式或遞推公式；

　　3.求和。

　　奧昆科夫先生有很大可能就是腦海中比小學(xué)生們多了“證明通項公式是否正確”這一步，結(jié)果也就卡死在這里了，所以奧昆科夫先生感覺“現(xiàn)在的思路比較混亂”。

　　在高等的數(shù)學(xué)里，一般給出數(shù)列的遞推公式讓你求通項公式，或者反之。簡單的數(shù)列求和問題，一般總給出遞推表達(dá)式或者通項表達(dá)式。而本題，兩者都沒有給。為什么不給，是因?yàn)橐坏┙o出后，本題對小學(xué)生而言，80%的難度就沒有了。

　　作為數(shù)學(xué)家，數(shù)理邏輯必須嚴(yán)密。被跳過的一步，在奧昆科夫先生眼里，是不能越過的深淵了。這便是數(shù)學(xué)家的職業(yè)病。所以，奧昆科夫先生解不出這道題目，可能是他想得太多。與小學(xué)生或者有些家長解不出這道題，性質(zhì)完全不同。

　　結(jié)論

　　不符合高數(shù)出題要求

　　之所以奧昆科夫先生想得太多，就是因?yàn)槟堑缞W數(shù)題不太符合高等的數(shù)學(xué)的出題要求。如果把這題出成這樣：“1、2、3、2、3、4、3、4、 5……n-4，n-3，n-2，n-3，n-2，n-1，n-2，n-1，n，(n是這個數(shù)列的第500個數(shù))，求這500個數(shù)之和”，估計奧昆科夫先生就不會卡殼，而只要看得懂這種代數(shù)表示法的中國小學(xué)生，一定會高興得要?dú)g呼。因此，出現(xiàn)大數(shù)學(xué)家解不出小學(xué)奧數(shù)題的尷尬局面，大抵還是可以歸類到“語言障礙”上去。但如果奧昆科夫先生不想那么多，不“思路比較混亂”的話，我想他大概也不能成為數(shù)學(xué)家了。

　　數(shù)學(xué)家的職業(yè)病，恰恰證明他具備異于常人的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)。筆者想起另一位大數(shù)學(xué)家希爾伯特解的一道奧數(shù)題：

　　甲乙兩人相向而行。甲隨身帶一條狗，狗從甲處向乙處奔跑，遇到乙后即折返回甲處；遇到甲后即折返再跑向乙……那么當(dāng)甲乙相遇時，狗跑了多少路程？

　　一般的解法，是算出甲乙相遇需要的時間，再乘以狗的速度(或許應(yīng)該叫速率)即可。

　　希爾伯特卻不是那么算的。他將狗每2次折返之間的跑過的路程用代數(shù)式算出，然后寫出一列趨于零的無限項正值加項，并算出了這個正項級數(shù)。而令人驚異的是，這一無窮項數(shù)列求和，是用心算完成的。

　　所以，希爾伯特是大數(shù)學(xué)家，他的貢獻(xiàn)已經(jīng)不是菲爾茨獎能評價的了。

　　推論

　　不合格的偽問題不成立

　　筆者是想說明(不是證明)，數(shù)學(xué)家解不出小學(xué)奧數(shù)題(數(shù)學(xué)家解不出中學(xué)國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題是很正常的，并被認(rèn)為是國際中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的驕傲)，與“奧數(shù)能否培養(yǎng)出數(shù)學(xué)家”這樣的問題沒有關(guān)系。在數(shù)學(xué)上說是“推不出”。不知哪個名人說過：“數(shù)學(xué)是思想的體操”，因?yàn)槲覍W(xué)奧數(shù)、學(xué)數(shù)學(xué)的親身體驗(yàn)，告訴我這是真理�！皵�(shù)學(xué)家解得出解不出小學(xué)奧數(shù)題”，“數(shù)學(xué)家小時候有沒有參加過奧數(shù)競賽”，推不出“奧數(shù)能否培養(yǎng)出數(shù)學(xué)家”；“奧數(shù)能否培養(yǎng)出數(shù)學(xué)家”，推不出“在中小學(xué)里是否要開展奧數(shù)教育、奧數(shù)競賽”，這道理在受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人看來是十分明了的，而且也可一眼看出“奧數(shù)能否培養(yǎng)數(shù)學(xué)家”是像那道奧數(shù)題一樣不合格的問題，一個偽問題，因?yàn)閷Α芭囵B(yǎng)”“數(shù)學(xué)家”未作界定。

　　現(xiàn)在有圍剿奧數(shù)的種種言論，甚至提到甚于“黃賭毒”的嚇人的高度。不說觀點(diǎn)正確與否，從學(xué)數(shù)學(xué)的人看來，證明方法就是不合邏輯的。這大概就是學(xué)不學(xué)數(shù)學(xué)的差別。所以，作為思維工具、思想體操，還是要學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)，而奧數(shù)被證明是訓(xùn)練數(shù)理思維的有效手段，否則，國際上為什么要年年舉辦中學(xué)生奧數(shù)競賽？

　　復(fù)旦大學(xué) 數(shù)學(xué)系 沈雄風(fēng)